الاستمرارية في الرياضيات
لدالة لها تطبيقات عديدة في الرياضيات. تعتبر خصائص الدالة مثل الاستمرارية والانقطاع مهمة أيضًا في فهم الدَوَالّ لأنه يمكن التنبؤ بسلوك هذه الدَوَالّ واستخدامها للتعبير عن العديد من الظواهر الطبيعية. سنقدم في هذه المقالة الدالة المستمرة والدالة غير المستمرة ونتعرف على هذه المجموعة من الدَوَالّ بمساعدة الأمثلة.
الدالة المستمرة
نستخدم في هذا القسم، منحنى الدالة لتحديد الدالة المستمرة. إذا لم يكن هناك مقاطعة عند رسم منحنى الدالة f(x) وكان الرسم البياني للدالة بدون نقطة قفزة، فإن الدالة f(X) تسمى مستمرة. بالطبع، قد يكون هذا التفسير تعريفًا غير رسميا للاستمرار، لكنه يساعد على فهم الفكرة الرئيسية. في الصورة أدناه، يظهر منحنى الدالة المستمرة.
 |
الاستمرارية في الرياضيات |
 |
الاستمرارية في الرياضيات |
وفقًا لهذا الموضوع،
يمكن التحقق من استمرارية وانقطاع الدوال التالية بمساعدة المخططات. منحنيات الدالة sin(x) و X2، التي تظهر في الصور التالية، على التوالي، تشير إلى استمرارية الدالة. لأنه لا توجد نقطة توقف أو قفزة أو خط مقارب عمودي فيها.
 |
| الاستمرارية في الرياضيات |
 |
| الاستمرارية في الرياضيات |
وبدلاً من ذلك، دالة مثل x2−1/x – 1 لها نقطة توقف. يمكن رؤية الرسم التخطيطي لهذه الدالة في الصورة أدناه. إذ يشار إلى
نقطة توقف هذه الدالة بدائرة رمادية.
دالة منفصلة بنقطة توقف
في الصورة أدناه أيضًا، تم رسم الرسم البياني للدالة 1/x-1، وهي دالة منفصلة. يُظهر الرسم البياني أيضًا خطًا رماديًا مقاربًا رأسيًا. يوازي هذا الخط المحور الرأسي ويمر أيضًا بالنقطة x = 1.
 |
دالة منفصلة بنقطة توقف |
دالة منفصلة بخط مقارب عمودي
يتم أيضا فصل دالة sign (x-1.5) عن طريق القفز بارتفاع وحدتین عند النقطة x = 1.5. تم رسم الصورة التالية لإظهار رسم تخطيطي لهذه الدالة.
 |
دالة منفصلة بخط مقارب عمودي |
مجال و مدی الدالة
نحتاج إلى التعرف على مفهوم مجال الدالة والمدی.
مجال الدالة:
مجموعة القيم التي تُعطى للدالة كمتغيرات والتي يمكن حساب قيمة الدالة علی اساسها. نشير إلى مجال الدالة بالحرف
d
مدی الدالة
مدی الدالة تُطلق على مجموعة القيم الناتجة عن حساب الدالة لكل عضو في مجموعة المجال. يشار إلى مدی الدالة بالحرف
R.
بناءً على ذلك، يمكن إظهار العلاقة بين مجال ومدى الدالة من خلال الرسم التخطيطي التالي. لذلك قد تكون الدالة مستمرة أو منفصلة
حسب مجالها.
 |
مجال و مدی الدالة |
على سبيل المثال،
إذا كنت تفكر في الدالة
(x-1)^1-،
فإن مجال هذه الدالة هي:
D = R – { 1 }
وهو ما يعني الأعداد الحقيقية بدون قيمة 1. لأن مقام هذا الكسر هو صفر لـ
x = 1
ولا يمكن حساب الدالة. لذلك يمكن القول أن هذه الدالة متصلة في مجالها. لذلك:
الدالة المستمرة في مجالها تسمى الدالة المستمرة
التعريف الرئيسي للاستمرارية على أساس حد الدالة:
الحد (Limit) هو أحد المفاهيم الأساسية والمهمة في الرياضيات وله تطبيقات عديدة. على سبيل المثال، لحساب التكاملات أو المشتقات، يتم استخدام تعريف الحد لإثبات الصيغ لكيفية حساب التكاملات أو المشتقات. أيضًا، يعتمد التعريف الرئيسي للاستمرارية على مفهوم الحد.
تعريف الاستمرارية
الدالة المستمرة/ المتصلة بانتظام (Continuous function) هي دالة رياضية تؤدي فيها تغييرات طفيفة في متغيّر الدالّة إلى تغييرات طفيفة في قيمتها. الدالة التي لا تحقّق هذه الخاصّیة تدعى (دالة غير مستمرة) أو (دالة منفصلة). بشكل بديهي، كما ذكرنا سابقا فإنّ دالة المستمرة ما إذا استطعنا أن نرسم رسمها البياني بدون رفع القلم عن الورقة، مع أنّ هذا التعريف ليس دقيقًا.
يعتبر موضوع استمراريّة الدوال أحد المواضيع المبدئية والجوهريّة في الطوبولوجيا. في هذا القسم من المقالة، سيكون الحديث عن دالة ذات مصادر وقيم حقيقيّة.
على سبيل المثال، إذا كانت الدالّة h(t) تمثّل ارتفاع زهرة ما في الزمن t، فإنّ هذه الدالة مستمرة. في الواقع، هنالك قول مأثور في الفيزياء الكلاسيكية يقضي بأنّ كل شيء في الطبيعة استمراري (مستمر). وإذا فرضنا أنّ الدالة m(t) تمثّل ارتفاع رصيد حساب في
البنك في الزمن t، فإنّ قيمة الدالة تقفز كلّما تم سحب بعض المال أو إدخاله إلى الحساب، لذا فإنّ هذه الدالّة غير مستمرّة.
قواعد الاستمرارية لكثيرات/ متعددات الحدود
وفقًا للمثال أعلاه، عندما يتم إنشاء دالتنا باستخدام العمليات الجبرية على كثيرات الحدود، يمكن اعتبار القواعد العامة بسبب استمراريتها:
- كثيرات الحدود مستمرة في مجالها، أي إنها الأعداد الحقيقية.
- ترتبط إضافة وطرح اثنين أو أكثر من التعبيرات متعددة الحدود أيضًا بمشاركة المجالات الخاصة بهم (الأرقام الحقيقية مرة أخرى).
- يستمر ضرب متعددات/ كثيرات الحدود من خلال ضم مجالاتهما.
- قسمة اثنين من كثيرات الحدود من خلال مشاركة مجالاتهما (أي الأرقام الحقيقية) مستمر باستثناء القيم التي تجعل المقام صفراً. لأن مجال الدوال الناتج عن قسمة كثيرات الحدود هو جميع الأعداد الحقيقية باستثناء جذور المقام.
- ترتبط الدوال الناتجة عن قوة كثيرات الحدود مع قوة عددية بأرقام حقيقية.
- الدوال التي يتم الحصول عليها بأخذ جذر زوجي لكثيرات الحدود تكون متصلة على جميع الأعداد الحقيقية باستثناء القيم التي تنفي كثير الحدود.
في المثال أعلاه، تم فحص تقسيم اثنين من كثيرات الحدود التي لم تكن مستمرة في جذر المقام. يتم تحديد هذه الجملة بسهولة وفقًا للقواعد التي قيلت.
مثال
ضع في اعتبارك دالة ذات جزئینh(x).
سنقوم بفحص استمرارية هذه الدالة على مجموعة من الأعداد الحقيقية.
{ H(x) = { 2 if x ≤ 1 ، x if x > 1
تم رسم هذه الدالة أدناه:
بالنظر إلى تعريف الاستمرارية الذي قدمه مفهوم الحد، لا يمكن اعتبار هذه الدالة مستمرة. لأن حده الأيمن عند النقطة
x = 1
يساوي 1
والحد الأيسر عند نفس النقطة يساوي 2. إذن،
هذه الدالة ليس لها حدود عند النقطة
x = 1،
لذا فهي ليست متصلة. نتيجة لذلك،
لا يمكن اعتبار استمرارية الدالة على جميع الأرقام الحقيقية.
مثال
دالة القيمة المطلقة أيضًا دالة ذات جزئین، والتي يتم تعريفها على النحو التالي:
{ X| = { -x if x ≤ 0 ، x if x > 0|
عند النقطة x = 0 تتغير الدالة بشكل جذري ولكن لا توجد نقطة توقف في الدالة. هذه الدالة متصلة عند النقطة x = 0، لأن قيمة الصفر تقع في مجال الدالة وحدود الدالة عند هذه النقطة يساوي قيمة الدالة.
فی النهایة یمکننا ان نراجع التعریف البسیط للاستمراریة: إذا كانت الدالة f(x) بها قفزة أو قطع عند النقطة x = a، فإنها تعتبر غير متصلة في تلك المرحلة. على سبيل المثال، تُظهر الأشكال التالية دالتين، مستمرة وغير متصلة.
استمرارية أحادية الجهة
قد تكون بعض الدوال مستمرّة من جهة واحدة فقط، أي من جهة اليسار أو من جهة اليمين. وتعرّف الدالّة المستمرّة من اليمين بهذا الشكل: لكل نقطة في مجال الدالّة، إذا اقتربنا من هذه النقطة من جهة اليمين فقط، نرى أنّها مستمرّة. من ناحية تعريف كوشي، فإنّه يشبه التعريف الأصلي مع تعديلات بسيطة:
تكون الدالة f(x) مستمرّة في النقطة x = c إذا تحقّق الآتي: لكل ε > 0 ، يوجد δ > 0 بحيث:
0 < x – c < δ ➡️ | f(x) – f( c) | < ϵ
أي أنّ يتحقق الشرط فقط لجميع النقاط في جوار δ الذي يقع إلى يمين النقطة c. وتعرّف الاستمراريّة من اليسار بطريقة مشابهة، مع تعديل الشرط إلى الشرط التالي:
δ < x – c < 0 ➡️ | f(x) g f( c) | < ε-
وتكون الدالة مستمرّة إذا وفقط كانت مستمرّة من اليمين وكذلك من اليسار.
مثال
في الأمثلة السابقة، ذكرت الدالّة الآتية:
{ F(x) = { 0 if x ≤ 0 , 1 if x > 0
على أنّها دالّة غير مستمرّة بسبب عدم استمراريّتها في النقطة x = 0 . مع هذا، فإنّ هذه الدالّة، دالّة مستمرّة من اليسار لكل نقطة في المجال، بإمكان اختيار جوار من جهة اليسار لا نلاحظ فيه أي عدم استمراريّة عند التقدم نحو النقطة فيه.
أمّا بالنسبة للاستمراريّة من اليمين فهي لا تتحقّق، لنفس السبب الذي يجعل الدالّة غير مستمرّة.
لمعرفة المزيد حول الدوال المستمرة، دعنا نلقي نظرة على بعض الأمثلة الاخری.
مثال
نفحص استمرارية الدالة x2−1/x – 1 على الأعداد الحقيقية. من الواضح أن النقطة 1 لا تنتمي إلى مجال الدالة. ولكن نظرًا لأنه يجب التحقق من الاستمرارية على جميع الأرقام الحقيقية، فيمكن الاستنتاج أن هذه الدالة ليست مستمرة.
افترض الآن أن المنطقة التي سنقوم فيها بفحص استمرارية الدالة قد تغيرت إلى مجموعة من الأعداد الحقيقية أقل من 1. نظرًا لأن الرسم البياني المقابل في هذه المنطقة لا يحتوي على نقطة توقف، فإن الدالة x2−1/x – 1 مرتبطة بالمجموعة (-∞ ، 1).
خواص أخرى للدالة المستمرة
- إذا كانت الدالّة f(x) قابلة للمفاضلة في النقطة c، فهي بالضرورة مستمرّة في هذه النقطة. أمّا العكس ليس صحيحًا، فعلى سبيل المثال: الدالّة |f(x) = x| دالّة مستمرّة في النقطة x=0 ولكنّها ليست قابلة للمفاضلة في تلك النقطة.
- نظرية القيمة الوسطى:
إذا كانت الدالّة الحقيقية f(x) مستمرّة على الفاصل المغلق [a، b]، وإذا كان k عددًا حقيقيًا بين f(a) و f(b) فيوجد بالضرورة عدد c في الفاصل [a، b] يحقّق: f(c) = k.
مثال توضيحي: إذا ازداد طول طفل من 1 متر إلى 1.5 مترًا من عمر سنتين حتّى عمر 6 سنوات، فبالتأكيد كان طول الطفل 1.25 مترًا في نقطة ما من الزمن بين العمر سنتين والعمر 6 سنوات، لأنّ طول الطفل كدالة من الزمن هي دالّة مستمرّة؛
- إحدى النتائج المهمّة من النظرية السابقة:
إذا كانت الدالّة الحقيقية f(c) مستمرّة على الفاصل المغلق [a،b] وكانت القيمتان f(a) و f(b) تختلفان بالإشارة، فتوجد بالضرورة نقطة c في الفاصل [a،b] تحقّق: f(c)=0؛ أي أنّ هنالك بالتأكيد نقطة صفرية للدالة f في الفاصل.