رياضيات تحليل رياضي/الاشتقاق

تحليل رياضي/الاشتقاق

تحليل رياضي/الاشتقاق

نقدم لكم تحليل رياضي/الاشتقاق

 بكالوريا دروس و تمارين من انجاز الاستاد  كما نضع لكم ايضا تمارين محلولة في النهايات  ملخص المتتاليات العددية 
 
   قد تساعدكم في التحضير ل شهادة البكالوريا شعب 
العلوم التجريبية و الرياضيات و الشعب التقنية 

قابلية اشتقاق دالة في عدد

لتكن ${\displaystyle �}$ دالة معرفة على مجال مفتوح ${\displaystyle �}$ وليكن ${\displaystyle �}$ عنصرا من ${\displaystyle �}$

نقول إن ${\displaystyle �}$ قابلة للاشتقاق في العدد ${\displaystyle �}$ إذا وُجِدَ عدد حقيقي ${\displaystyle \ell }$ بحيث : ${\displaystyle \underset{�\to �}{lim}\frac{�(�)-�(�)}{�-�}=\ell }$

العدد ${\displaystyle \ell }$ يسمى العدد المشتق للدالة ${\displaystyle �}$ في ${\displaystyle �}$ ، ويُرمَز له بالرمز ${\displaystyle {�}^{\prime }(�)}$

تعريف  

لتكن ${\displaystyle �}$ دالة قابلة للاشتقاق في عدد حقيقي ${\displaystyle �}$

• المستقيم الذي معادلته : ${\displaystyle �={�}^{\prime }(�).(�-�)+�(�)}$ يسمى مماس منحنى الدالة ${\displaystyle �}$ في النقطة التي أُفصولها ${\displaystyle �}$
• الدالة ${\displaystyle �\mapsto {�}^{\prime }(�).(�-�)+�(�)}$ تسمى التقريب التآلفي للدالة ${\displaystyle �}$ بجوار العدد ${\displaystyle �}$

ونكتب : ${\displaystyle �(�)\simeq {�}^{\prime }(�).(�-�)+�(�)}$ بجوار ${\displaystyle �}$ ، أو ${\displaystyle �(�+ℎ)\simeq ℎ.{�}^{\prime }(�)+�(�)}$ بجوار ${\displaystyle 0}$

قابلية الاشتقاق على اليمين - قابلية الاشتقاق على اليسار

تعريف : قابلية الاشتقاق على اليمين

لتكن ${\displaystyle �}$ دالة معرفة على مجال ${\displaystyle [�,�+�[}$ حيث ${\displaystyle �}$ عدد حقيقي موجب قطعا.

نقول إن  قابلة للاشتقاق على اليمين في  إذا وُجِد عدد حقيقي  بحيث : 

العدد ${\displaystyle {\ell }_1}$ يسمى العدد المشتق للدالة ${\displaystyle �}$ على اليمين في ${\displaystyle �}$ ، ويُرمَز له بالرمز ${\displaystyle {�}_{�}^{\prime }(�)}$ ونكتب ${\displaystyle {�}_{�}^{\prime }(�)={�}_1}$

تعريف : قابلية الاشتقاق على اليسار

لتكن ${\displaystyle �}$ دالة معرفة على مجال ${\displaystyle ]�-�,�]}$ حيث ${\displaystyle �}$ عدد حقيقي موجب قطعا.

نقول إن ${\displaystyle �}$ قابلة للاشتقاق على اليسار في ${\displaystyle �}$ إذا وُجِد عدد حقيقي ${\displaystyle {\ell }_2}$ بحيث : ${\displaystyle \underset{�\to {�}^{-}}{lim}\frac{�(�)-�(�)}{�-�}={\ell }_2}$

العدد ${\displaystyle {\ell }_2}$ يسمى العدد المشتق للدالة ${\displaystyle �}$ على اليسار في ${\displaystyle �}$ ، ويُرمَز له بالرمز ${\displaystyle {�}_{�}^{\prime }(�)}$ ونكتب ${\displaystyle {�}_{�}^{\prime }(�)={�}_2}$

مخاصية

لتكن ${\displaystyle �}$ دالة قابلة للاشتقاق على مجال ${\displaystyle �}$

• تكون ${\displaystyle �}$ ثابتة على ${\displaystyle �}$ إذا وفقط إذا كان : ${\displaystyle (\mathrm{\forall }�\in �){�}^{\prime }(�)=0}$
• تكون ${\displaystyle �}$ تزايدية على ${\displaystyle �}$ إذا وفقط إذا كان : ${\displaystyle (\mathrm{\forall }�\in �){�}^{\prime }(�)\ge 0}$
• تكون ${\displaystyle �}$ تناقصية على ${\displaystyle �}$ إذا وفقط إذا كان : ${\displaystyle (\mathrm{\forall }�\in �){�}^{\prime }(�)\le 0}$

خاصية

إذا كانت دالة ${\displaystyle �}$ متصلة على قطعة ${\displaystyle [�,�]}$ وقابلة للاشتقاق على المجال المفتوح ${\displaystyle ]�,�[}$ ، وإذا وُجِدَ عددان حقيقيان ${\displaystyle �}$ و ${\displaystyle �}$ بحيث ${\displaystyle �\le {�}^{\prime }(�)\le �}$ لكل ${\displaystyle �}$ من ${\displaystyle ]�,�[}$

فإن : 

مبرهنة رول - مبرهنة التزايدات المنتهيةبرهنة رول - مبرهنة التزايدات المنتهية

ممشتخاصية

ليكن ${\displaystyle �}$ عددا جذريا غير منعدم.

• الدالة ${\displaystyle �\mapsto {�}^{�}}$ قابلة للاشتقاق على ${\displaystyle {\mathbb{�}}^{+\ast }}$ ومشتقتها هي الدالة ${\displaystyle �\mapsto �{�}^{�-1}}$
• إذا كانت دالة ${\displaystyle �}$ قابلة للاشتقاق وموجبة قطعا على مجال ${\displaystyle �}$، فإن الدالة ${\displaystyle �:�\mapsto (�(�){)}^{�}}$ قابلة للاشتقاق على المجال ${\displaystyle �}$ ولدينا لكل ${\displaystyle �}$ من ${\displaystyle �}$ : ${\displaystyle {�}^{\prime }(�)=�.{�}^{\prime }(�).(�(�){)}^{�-1}}$

قات الدو

 حيث شتخاصية

ليكن ${\displaystyle �}$ عددا صحيحا طبيعيا أكبر من ${\displaystyle 1}$

إذا كانت الدالة ${\displaystyle �}$ قابلة للاشتقاق وموجبة قطعا على مجال ${\displaystyle �}$، فإن الدالة ${\displaystyle �:�\mapsto \sqrt[�]{�(�)}}$ قابلة للاشتقاق على المجال ${\displaystyle �}$ ولدينا لكل ${\displaystyle �}$ من ${\displaystyle �}$ : ${\displaystyle {�}^{\prime }(�)=\frac{1}{�}{�}^{\prime }(�).(�(�){)}^{\frac{1}{�}-1}=\frac{{�}^{\prime }(�)}{�\sqrt[�]{(�(�){)}^{�-1}}}}$

قة الدالة ${\displaystyle �\mapsto \sqrt[�]{�}}$خاصية

ليكن ${\displaystyle �}$ عددا صحيحا طبيعيا أكبر من ${\displaystyle 1}$

الدالة ${\displaystyle �:�\mapsto \sqrt[�]{�}}$ قابلة للاشتقاق على ${\displaystyle {\mathbb{�}}^{+\ast }}$ ولدينا لكل ${\displaystyle �}$ من ${\displaystyle {\mathbb{�}}^{+\ast }}$ : ${\displaystyle {�}^{\prime }(�)=\frac{1}{�}{�}^{\frac{1}{�}-1}=\frac{1}{�\sqrt[�]{{�}^{�-1}}}}$

خاصية

• الدالة ${\displaystyle \arctan }$ قابلة للاشتقاق على ${\displaystyle \mathbb{�}}$ ولدينا لكل ${\displaystyle �}$ من ${\displaystyle \mathbb{�}}$ : ${\displaystyle {\arctan }^{\prime }(�)=\frac{1}{1+{�}^2}}$
• إذا كانت ${\displaystyle �}$ دالة قابلة للاشتقاق على مجال ${\displaystyle �}$ فإن الدالة ${\displaystyle �\mapsto \arctan (�(�))}$ قابلة للاشتقاق على ${\displaystyle �}$ و دالتها المشتقة هي الدالة : ${\displaystyle �\mapsto \frac{{�}^{\prime }(�)}{1+(�(�){)}^2}}$

خاصية

لتكن ${\displaystyle �}$ دالة معرفة على مجال مفتوح ${\displaystyle �}$ وليكن ${\displaystyle �}$ عنصرا من ${\displaystyle �}$

تكون ${\displaystyle �}$ قابلة للاشتقاق في العدد ${\displaystyle �}$ إذا وفقط إذا كانت ${\displaystyle �}$ قابلة للاشتقاق على اليمين وعلى اليسار في ${\displaystyle �}$ و ${\displaystyle {�}_{�}^{\prime }(�)={�}_{�}^{\prime }(�)}$

قابلية اشتقاق دالة على مجال

تعريف

لتكن ${\displaystyle �}$ دالة معرفة على مجال ${\displaystyle [�,�]}$ ()

• نقول إن ${\displaystyle �}$ قابلة للاشتقاق على المجال المفتوح ${\displaystyle ]�,�[}$ إذا كانت قابلة للاشتقاق في كل عدد من ${\displaystyle ]�,�[}$
• الدالة التي تربط كل عدد ${\displaystyle �}$ من ${\displaystyle ]�,�[}$ بالعدد المشتق ${\displaystyle {�}^{\prime }(�)}$ تسمى الدالة المشتقة للدالة ${\displaystyle �}$ على المجال ${\displaystyle ]�,�[}$ ، ويُرمَزُ لها بالرمز ${\displaystyle {�}^{\prime }}$
• نقول إن ${\displaystyle �}$ قابلة للاشتقاق على القطعة ${\displaystyle [�,�]}$ إذا كانت قابلة للاشتقاق على المجال المفتوح ${\displaystyle ]�,�[}$ ، وقابلة للاشتقاق على اليمين في ${\displaystyle �}$ وعلى اليسار في ${\displaystyle �}$

مشتقات بعض الدوال الاعتيادية

مشتقات بعض الدوال الاعتيادية

الدالة ${\displaystyle �}$	قابلة للاشتقاق على	الدالة المشتقة ${\displaystyle {�}^{\prime }}$
${\displaystyle �\mapsto �,(�\in \mathbb{�})}$	${\displaystyle \mathbb{�}}$	${\displaystyle �\mapsto 0}$
${\displaystyle �\mapsto ��,(�\in {\mathbb{�}}^{\ast })}$	${\displaystyle \mathbb{�}}$	${\displaystyle �\mapsto �}$
${\displaystyle �\mapsto {�}^{�},(�\in {\mathbb{�}}^{\ast })}$	${\displaystyle \mathbb{�}}$	${\displaystyle �\mapsto �{�}^{�-1}}$
${\displaystyle �\mapsto \frac{1}{�}}$	${\displaystyle {\mathbb{�}}^{-\ast }}$ أو ${\displaystyle {\mathbb{�}}^{+\ast }}$	${\displaystyle �\mapsto \frac{-1}{{�}^2}}$
${\displaystyle �\mapsto \sqrt{�}}$	${\displaystyle {\mathbb{�}}^{+\ast }}$	${\displaystyle �\mapsto \frac{1}{2\sqrt{�}}}$
${\displaystyle �\mapsto \cos (�)}$	${\displaystyle \mathbb{�}}$	${\displaystyle �\mapsto -\sin (�)}$
${\displaystyle �\mapsto \sin (�)}$	${\displaystyle \mathbb{�}}$	${\displaystyle �\mapsto \cos (�)}$
${\displaystyle �\mapsto \tan (�)}$	${\displaystyle \left]-\frac{�}{2}+��,\frac{�}{2}+��\right[,�\in \mathbb{�}}$	${\displaystyle �\mapsto 1+{\tan }^2�=\frac{1}{{\cos }^2�}}$
${\displaystyle �\mapsto \cos (��+�),(�\in {\mathbb{�}}^{\ast })}$	${\displaystyle \mathbb{�}}$	${\displaystyle �\mapsto -�\sin (��+�)}$
${\displaystyle �\mapsto \sin (��+�),(�\in {\mathbb{�}}^{\ast })}$	${\displaystyle \mathbb{�}}$	${\displaystyle �\mapsto �\cos (��+�)}$

الكتابة التفاضلية

إذا كانت ${\displaystyle �}$ قابلة للاشتقاق على مجال مفتوح، وإذا وضعنا ${\displaystyle �=�(�)}$ ، فإنه يمكن استعمال الكتابة التفاضلية: ${\displaystyle {�}^{\prime }(�)=\frac{��}{��}}$ أو ${\displaystyle ��={�}^{\prime }(�)��}$

في مادة الفيزياء، إذا كانت ${\displaystyle �}$ دالة للمتغير ${\displaystyle �}$ بحيث ${\displaystyle �=\frac{1}{2}{�}^2+3�+1}$ فإننا نكتب : ${\displaystyle \frac{��}{��}=�+3}$

العمليات على الدوال القابلة للاشتقاق

خاصية

لتكن ${\displaystyle �}$ و ${\displaystyle �}$ دالتين قابلتين للاشتقاق على مجال ${\displaystyle �}$ و ${\displaystyle �}$ عددا حقيقيا. لدينا :

• ${\displaystyle (�+�{)}^{\prime }={�}^{\prime }+{�}^{\prime }}$ و ${\displaystyle (�.�{)}^{\prime }=�.{�}^{\prime }}$ و ${\displaystyle (�.�{)}^{\prime }={�}^{\prime }.�+�.{�}^{\prime }}$ و ${\displaystyle ({�}^{�}{)}^{\prime }=�{�}^{\prime }.{�}^{�-1}}$ حيث ${\displaystyle �\in {\mathbb{�}}^{\ast }}$
• إذا كانت ${\displaystyle �(�)\ne 0}$ لكل ${\displaystyle �}$ من ${\displaystyle �}$ فإن : ${\displaystyle {\left(\frac{1}{�}\right)}^{\prime }=-\frac{{�}^{\prime }}{{�}^2}}$ و ${\displaystyle {\left(\frac{�}{�}\right)}^{\prime }=\frac{{�}^{\prime }�-�{�}^{\prime }}{{�}^2}}$

الاشتقاق والاتصال

لتكن ${\displaystyle �}$ دالة و ${\displaystyle �}$ عنصرا من مجموعة تعريفها. إذا كانت ${\displaystyle �}$ قابلة للاشتقاق في ${\displaystyle �}$ فإن ${\displaystyle �}$ متصلة في ${\displaystyle �}$

ملاحظتان :

• نتيجة لهذه الخاصية، كل دالة قابلة للاشتقاق على مجال هي دالة متصلة على هذا المجال.
• عكس هذه الخاصية غير صحيح، فدالة القيمة المطلقة المعرفة على ${\displaystyle \mathbb{�}}$ بما يلي : ${\displaystyle �\to |�|}$ متصلة في صفر، لكنها غير قابلة للاشتقاق في هذا العدد.

مشتقة مركب دالتين

خاصية

لتكن ${\displaystyle �}$ دالة معرفة على مجال مفتوح ${\displaystyle �}$ و ${\displaystyle �}$ دالة معرفة على مجال مفتوح ${\displaystyle �}$ بحيث ${\displaystyle �(�)\subset �}$ وليكن ${\displaystyle �}$ عنصرا من المجال ${\displaystyle �}$

إذا كانت ${\displaystyle �}$ قابلة للاشتقاق في ${\displaystyle �}$ و ${\displaystyle �}$ قابلة للاشتقاق في ${\displaystyle �(�)}$، فإن الدالة ${\displaystyle �\circ �}$ قابلة للاشتقاق في ${\displaystyle �}$

لازمة

إذا كانت ${\displaystyle �}$ دالة قابلة للاشتقاق على مجال ${\displaystyle �}$ و ${\displaystyle �}$ دالة قابلة للاشتقاق على مجال ${\displaystyle �}$ بحيث ${\displaystyle �(�)\subset �}$

فإن الدالة ${\displaystyle �\circ �}$ قابلة للاشتقاق على المجال ${\displaystyle �}$ ، ولدينا لكن ${\displaystyle �}$ من ${\displaystyle �}$ : ${\displaystyle (�\circ �{)}^{\prime }(�)={�}^{\prime }(�).{�}^{\prime }(�(�))}$

خاصية

لتكن ${\displaystyle �}$ تقابلا من مجال ${\displaystyle �}$ نحو مجال ${\displaystyle �}$ و ${\displaystyle {�}^{-1}}$ تقابلها العكسي. وليكن ${\displaystyle �}$ عنصرا من ${\displaystyle �}$ و ${\displaystyle �}$ عنصرا من ${\displaystyle �}$ بحيث ${\displaystyle �(�)=�}$

إذا كانت ${\displaystyle �}$ قابلة للاشتقاق في ${\displaystyle �}$ و ${\displaystyle {�}^{\prime }(�)\ne 0}$

فإن ${\displaystyle {�}^{-1}}$ قابلة للاشتقاق في ${\displaystyle �}$ ولدينا : ${\displaystyle ({�}^{-1}{)}^{\prime }(�)=\frac{1}{{�}^{\prime }(�)}}$

لازمة

لتكن  تقابلا من مجال  نحو مجال  و  تقابلها العكسي.

إذا كانت ${\displaystyle �}$ قابلة للاشتقاق على المجال ${\displaystyle �}$ و ${\displaystyle {�}^{\prime }}$ لا تنعدم على المجال ${\displaystyle �}$

فإن ${\displaystyle {�}^{-1}}$ قابلة للاشتقاق على المجال ${\displaystyle �}$ ولدينا لكل ${\displaystyle �}$ من ${\displaystyle �}$ : ${\displaystyle ({�}^{-1}{)}^{\prime }(�)=\frac{1}{{�}^{\prime }({�}^{-1}(�))}}$

مشتقة دالة قوس الظل

خاصية

• لدالة ${\displaystyle \arctan }$ قابلة للاشتقاق على ${\displaystyle \mathbb{�}}$ ولدينا لكل ${\displaystyle �}$ من ${\displaystyle \mathbb{�}}$ : ${\displaystyle {\arctan }^{\prime }(�)=\frac{1}{1+{�}^2}}$
• إذا كانت ${\displaystyle �}$ دالة قابلة للاشتقاق على مجال ${\displaystyle �}$ فإن الدالة ${\displaystyle �\mapsto \arctan (�(�))}$ قابلة للاشتقاق على ${\displaystyle �}$ و دالتها المشتقة هي الدالة : ${\displaystyle �\mapsto \frac{{�}^{\prime }(�)}{1+(�(�){)}^2}}$

مشتقة دالة الجذر من الرتبة n

مشتقة الدالة ${\displaystyle �\mapsto \sqrt[�]{�}}$

خاصية

ليكن ${\displaystyle �}$ عددا صحيحا طبيعيا أكبر من ${\displaystyle 1}$

الدالة ${\displaystyle �:�\mapsto \sqrt[�]{�}}$ قابلة للاشتقاق على ${\displaystyle {\mathbb{�}}^{+\ast }}$ ولدينا لكل ${\displaystyle �}$ من ${\displaystyle {\mathbb{�}}^{+\ast }}$ : ${\displaystyle {�}^{\prime }(�)=\frac{1}{�}{�}^{\frac{1}{�}-1}=\frac{1}{�\sqrt[�]{{�}^{�-1}}}}$

مشتقة الدالة 

${\displaystyle �\mapsto \sqrt[�]{�(�)}}$

خاصية

ليكن ${\displaystyle �}$ عددا صحيحا طبيعيا أكبر من ${\displaystyle 1}$

إذا كانت الدالة ${\displaystyle �}$ قابلة للاشتقاق وموجبة قطعا على مجال ${\displaystyle �}$، فإن الدالة ${\displaystyle �:�\mapsto \sqrt[�]{�(�)}}$ قابلة للاشتقاق على المجال ${\displaystyle �}$ ولدينا لكل ${\displaystyle �}$ من ${\displaystyle �}$ : ${\displaystyle {�}^{\prime }(�)=\frac{1}{�}{�}^{\prime }(�).(�(�){)}^{\frac{1}{�}-1}=\frac{{�}^{\prime }(�)}{�\sqrt[�]{(�(�){)}^{�-1}}}}$

مشتقات الدوال ${\displaystyle �\mapsto {�}^{�}}$ و ${\displaystyle �\mapsto (�(�){)}^{�}}$ حيث ${\displaystyle �\in {\mathbb{�}}^{\ast }}$

خاصية

ليكن ${\displaystyle �}$ عددا جذريا غير منعدم.

• الدالة ${\displaystyle �\mapsto {�}^{�}}$ قابلة للاشتقاق على ${\displaystyle {\mathbb{�}}^{+\ast }}$ ومشتقتها هي الدالة ${\displaystyle �\mapsto �{�}^{�-1}}$
• إذا كانت دالة ${\displaystyle �}$ قابلة للاشتقاق وموجبة قطعا على مجال ${\displaystyle �}$، فإن الدالة ${\displaystyle �:�\mapsto (�(�){)}^{�}}$ قابلة للاشتقاق على المجال ${\displaystyle �}$ ولدينا لكل ${\displaystyle �}$ من ${\displaystyle �}$ : ${\displaystyle {�}^{\prime }(�)=�.{�}^{\prime }(�).(�(�){)}^{�-1}}$

مبرهنة رول - مبرهنة التزايدات المنتهية

مبرهنة

إذا كانت دالة ${\displaystyle �}$ متصلة على قطعة ${\displaystyle [�,�]}$ وقالبة للاشتقاق على المجال المفتوح ${\displaystyle ]�,�[}$ و ${\displaystyle �(�)=�(�)}$

فإنه يوجد على الأقل عنصر ${\displaystyle �}$ من ${\displaystyle ]�,�[}$ بحيث ${\displaystyle {�}^{\prime }(�)=0}$

هندسيا، وجود عنصر ${\displaystyle �}$ من ${\displaystyle ]�,�[}$ بحيث ${\displaystyle {�}^{\prime }(�)=0}$ يعني أن منحنى الدالة ${\displaystyle �}$ على ${\displaystyle [�,�]}$ له على الأقل مماس مواز لمحور الأفاصيل.

مبرهنة التزايدات المنتهية

مبرهنة

إذا كانت دالة ${\displaystyle �}$ متصلة على قطعة ${\displaystyle [�,�]}$ وقابلة للاشتقاق على المجال المفتوح ${\displaystyle ]�,�[}$

فإنه يوجد ${\displaystyle �}$ من ${\displaystyle ]�,�[}$ بحيث : ${\displaystyle �(�)-�(�)=(�-�){�}^{\prime }(�)}$

متفاوتة التزايدات المنتهية

خاصية

إذا كانت دالة ${\displaystyle �}$ متصلة على قطعة ${\displaystyle [�,�]}$ وقابلة للاشتقاق على المجال المفتوح ${\displaystyle ]�,�[}$ ، وإذا وُجِدَ عددان حقيقيان ${\displaystyle �}$ و ${\displaystyle �}$ بحيث ${\displaystyle �\le {�}^{\prime }(�)\le �}$ لكل ${\displaystyle �}$ من ${\displaystyle ]�,�[}$

فإن : ${\displaystyle �(�-�)\le �(�)-�(�)\le �(�-�)}$

لازمة

إذا كانت دالة ${\displaystyle �}$ متصلة على ${\displaystyle [�,�]}$ وقابلة للاشتقاق على ${\displaystyle ]�,�[}$ ، وإذا وُجِدَ عدد حقيقي موجب ${\displaystyle �}$ بحيث : ${\displaystyle (\mathrm{\forall }�\in ]�,�[)|{�}^{\prime }(�)|\le �}$

فإنه لكل ${\displaystyle �}$ و ${\displaystyle �}$ من ${\displaystyle ]�,�[}$ : ${\displaystyle |�(�)-�(�)|\le �|�-�|}$

رتابة دالة عددية

خاصية

لتكن ${\displaystyle �}$ دالة قابلة للاشتقاق على مجال ${\displaystyle �}$

• تكون ${\displaystyle �}$ ثابتة على ${\displaystyle �}$ إذا وفقط إذا كان : ${\displaystyle (\mathrm{\forall }�\in �){�}^{\prime }(�)=0}$
• تكون ${\displaystyle �}$ تزايدية على ${\displaystyle �}$ إذا وفقط إذا كان : ${\displaystyle (\mathrm{\forall }�\in �){�}^{\prime }(�)\ge 0}$
• تكون ${\displaystyle �}$ تناقصية على ${\displaystyle �}$ إذا وفقط إذا كان : ${\displaystyle (\mathrm{\forall }�\in �){�}^{\prime }(�)\le 0}$

ملاحظة : إذا كانت ${\displaystyle (\mathrm{\forall }�\in �){�}^{\prime }(�)\ge 0}$ والمتساوية ${\displaystyle {�}^{\prime }(�)=0}$ محققة فقط بالنسبة لأعداد معزولة من المجال ${\displaystyle �}$ فإن الدالة ${\displaystyle �}$ تزايدية قطعا على ${\displaystyle �}$